Funktionenscharen Aufgaben
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_t \) mit \( f_t(x) = x^3 - tx^2 + 5, \quad t \geq 0 \).
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_k(x) = 2 \cdot (x + k) \cdot e^{-\frac{1}{k}x}, \quad k \neq 0 \).
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_k(x) = x^3 + 2kx^2, \quad k \lt 0 \).
Aufgabe 4
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_k(x) = x^4 + 2k^2x^2 - 3k^4, \quad k \neq 0 \).
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_k(x) = 2e^{kx} \cdot kx, \quad k \neq 0 \).
Aufgabe 6
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_t(x) = tx^3 + 6t^2x^2, \quad t \gt 0 \).
Lösungen
Aufgabe 1
a) \( f_t'(x) = 3x^2 - 2tx \)
b) \( f_t'(x) = 4 \quad \rightarrow \quad t = 3.5 \)
c) \( HP \text{ bei } x_1 = 0 \text{ und } TP \text{ bei } x_2 = \frac{2}{3} t, \text{ wenn } t \gt 0 \)
d) Wenn \( t = 0 \text{ ist } f_0'(0) = 0, f_0''(0) = 0 \text{ und } f_0'''(0) = 6 \text{ mit } f_0(0) = 0 \)
Somit Sattelpunkt wenn \( t = 0 \) im Punkt \( SP(0|0) \)
Aufgabe 2
a) Nullstellen von \( f_k(x) \) liegen stets bei \( x = -k \). Somit folgt von oben nach unten \( k = 10, k = 5, k = -5, k = -7.5 \)
b) \( f_k(x) = 0 \quad \rightarrow \quad x = 0 \text{ und somit liegen alle Extremstellen stets auf der } y-Achse. \)
c) Nullstelle von \( f_k(x) \) bei \( x = -k \)
\( y-Achsenabschnitt von f_k(x) \text{ bei } f_k(0) = 2k \)
\( A = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 2k = k^2 \)
Gleichschemklig: Es muss gelten \( 2k = -k \), was nur bei \( k = 0 \) möglich wäre und somit nicht möglich.
Aufgabe 3
a) \( y-Achsenabschnitt: f_k(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = -2k \)
b) Da \( k \lt 0 \) folgt \( HP \text{ bei } x_1 = 0 \text{ und } TP \text{ bei } x_2 = -\frac{4}{3} k \)
c) \( TP \text{ bei } TP(-\frac{4}{3} k | \frac{32}{27} k^3). \text{ Aus } x = -\frac{4}{3} k \text{ folgt } k = -\frac{3}{4} x \)
\( \rightarrow \) eingesetzt in \( y = \frac{32}{27} k^3 \) folgt die Funktionsgleichung \( y = -\frac{1}{2} x^3 \)
d) \( WP(-\frac{2}{3} k | \frac{16}{27} k^3) \quad \rightarrow \quad y_T = -\frac{4}{3} k^2 x - \frac{8}{27} k^3 \)
Aufgabe 4
a) \( f_k(x) = 0 \) und durch Substitution lösen
b) \( f_k(-x) = (-x)^4 + 2k^2(-x)^2 - 3k^4 = x^4 + 2k^2x^2 - 3k^4 = f_k(x) \)
c) \( TP(0|-48) \)
d) Wenn \( k \gt 0 \) \( TP(0|-48) \) und wenn \( k \lt 0 \) \( HP(0|-48) \)
e) Die Funktionenschar besitzt keine Wendestellen.
Aufgabe 5
a) \( \gamma-Achsenabschnitt: f_k(0) = 0 \) Nullstellen: \( x = 0 \)
b) \( f_k'(x) = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{k} \rightarrow f_k''\left(-\frac{1}{k}\right) = 0 \) ergibt \( k_1 = 0 \) und \( k_2 = -2 \)
Da \( k \neq 0 \) und \( f_k''(\frac{-1}{k}) \neq 0 \) besitzt \( f_{-2}(x) \) einen Sattepunkt bei \( x = \frac{1}{2} \).
Aufgabe 6
a) \( \gamma-Achsenabschnitt: f_t(0) = 0 \) Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = -6t \)
b) \( y_T = 0 \)
c) \( HP \) bei \( HP(-4t|32t^4) \). Aus \( x = -4t \) folgt \( t = -\frac{1}{4}x \)
\( \rightarrow \) eingesetzt in \( y = 32t^4 \) folgt die Funktionsgleichung \( y = \frac{1}{8}x^4 \).
d) \( RL - WP \) bei \( WP(-2t|16t^4) \). Aus \( x = -2t \) folgt \( t = -\frac{1}{2}x \)
\( \rightarrow \) eingesetzt in \( y = 16t^4 \) folgt die Funktionsgleichung \( y = x^4 \).
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