Tangente
Bei einer Tangente handelt es sich um eine lineare Funktion, die eine Funktion in einem Punkt \( P \) berührt. Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung der Funktion in dem Punkt \( P \).
Hinweis: Mithilfe einer Tangente kann der Schnittwinkel zwischen einer Funktion und der x-Achse bestimmt werden. Die Tangentengleichung wird bestimmt, ein rechtwinkliges Dreieck aufgestellt und mithilfe einer Tangensbeziehung der Winkel berechnet.
Gesucht: Tangentengleichung \( y_T = mx + b \)
1. Steigung \( m \) mit \( m = f'(x_0) \) bestimmen
2. y-Achsenabschnitt \( b \) durch Einsetzen des Punktes \( P \) in die Tangentengleichung berechnen
3. Tangentengleichung aufstellen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 0,5x^3 + 1 \). Gesucht ist die Tangentengleichung, die an die Funktion in \( x_0 = 1 \) anschließt.
Schritt 1: Steigung \( m \) bestimmen. Dabei gilt: Die Tangentengleichung \( m \) ist gleich der Steigung der Funktion in \( x_0 \):
Schritt 2: y-Achsenabschnitt \( b \) durch Einsetzen des Punktes \( P \) berechnen. Falls der y-Wert nicht vorhanden ist, muss dieser zunächst durch Einsetzen des x-Wertes in \( f(x) \) bestimmt werden:
Schritt 3: Tangentengleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \):
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